Aいいえ、《偽りの名 ワスプメリサ》の「水晶武装４」により、お互いの《偽りの名 ワスプメリサ》の「自分のターンのはじめに」の能力はトリガーしません。
《偽りの名 ワスプメリサ》の「水晶武装４」でかわりにトリガーしなくなるのは、「このクリーチャーが出た時」でテキストが始まる能力すべてです。そのクリーチャーが出たことによってその能力がトリガーしたかどうかは関係ありません。そのため、ターンのはじめにも能力がトリガーしません。